どのような場合であっても成り立つ式を恒等式といいます。恒等式と方程式は異なるため、区別しなければいけません。
恒等式に関する問題では、恒等式が成り立つ数字を求めたり、恒等式となることを証明したりします。恒等式の証明方法は決まっており、どのように恒等式が成り立つ値を得ればいいのか学びましょう。具体的には、係数比較法と数値代入法があります。
それぞれの方法について、注意点があります。また恒等式では、発展問題についても値を求められるようになりましょう。
それでは、どのように恒等式に関する証明をすればいいのでしょうか。恒等式が関わる問題の解き方を解説していきます。
もくじ
恒等式とは？方程式と恒等式の違い
まず、恒等式とは何かを理解しましょう。式に含まれている文字に対して、どのような値を代入しても成り立つ式が恒等式です。
私たちは数学で多くの公式を学びます。例えば以下のような公式です。
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
- \(sin^2θ+cos^2θ=1\)
これらの公式は恒等式でもあります。それでは、恒等式と方程式の違いは何でしょうか。方程式は特定の条件で成り立つ式を指します。例えば以下の式は方程式です。
- \((x-1)(x+2)=0\)
この式で成り立つのは\(x=-2,1\)のときです。他の値では成り立ちません。一方で恒等式では、どの数字であっても成り立ちます。例えば、以下は恒等式です。
- \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\)
この式では、\(x\)にどのような値を代入しても式が成り立ちます。この場合が恒等式であり、イコールを含む式には恒等式と方程式の2種類があります。
係数比較法を利用して問題を解く
それでは、恒等式に関する問題を解くときはどのようにすればいいのでしょうか。方法には、係数比較法と数値代入法の2種類あります。まず、係数比較法を確認しましょう。
恒等式では必ず式が成り立つ必要があるため、次数が同じ項では、係数が一致します。例えば、以下の式が恒等式の場合を考えてみましょう。
- \(2x^2+bx=ax^2+3x+c\)
恒等式となるためには\(a=2\)、\(b=3\)、\(c=0\)でなければいけません。これは、次数が同じ項について、係数を一致させる必要があるからです。
そこで、係数比較法を用いて問題を解きましょう。以下の答えは何でしょうか。
- \(x^2+ax-2\)を\(x+2\)で割ると、あまりが5となる定数\(a\)を求めましょう。
商を\(x+b\)としましょう。この場合、以下の式を作ることができます。
- \(x^2+ax-2=(x+2)(x+b)+5\)
この式が恒等式になる必要があるため、以下のように右辺を計算しましょう。
\((x+2)(x+b)+5\)
\(=x^2+(2+b)x+2b+5\)
つまり、以下の式へと変えることができます。
- \(x^2+ax-2=x^2+(2+b)x+2b+5\)
前述の通り、同じ次数の項は係数が一致しなければいけません。そのため、\(a=2+b\)と\(-2=2b+5\)の両方を満たす必要があります。そこで計算すると\(b=-\displaystyle\frac{7}{2}\)であり、\(a=-\displaystyle\frac{3}{2}\)とわかります。こうして、答えを得ることができました。
数値代入法を利用して式を得る
どのような値を代入しても成り立つのが恒等式です。そこで、あなたが選んだ適当な数字を代入し、式を得ましょう。例えば以下の式について、恒等式となる\(a\)と\(b\)の値は何でしょうか。
- \(x^2+ax-2=(x+1)(x+b)-1\)
係数比較法ではなく、数値代入法を利用して答えを得ましょう。数値代入法では、あなたが選んだ任意の数値を利用して計算します。例えば\(x=-1\)と\(x=0\)を代入しましょう。
・\(x=-1\)を代入
\(1-a-2=-1\)
\(a=0\)
\(a=0\)とわかったため、\(x^2-2=(x+1)(x+b)-1\)を利用して計算しましょう。
・\(x=0\)を代入
\(-2=b-1\)
\(b=-1\)
こうして\(a=0\)、\(b=-1\)になるとわかりました。
数値代入法では恒等式が成り立つか確かめる必要がある
なお数値代入法では、本当に恒等式が成立しているかどうかわかりません。先ほどの計算結果であれば、\(x=-1\)と\(x=0\)では成り立つものの、ほかの値でも成立するかどうかわからないのです。そのため数値代入法を利用する場合、恒等式が成り立つかどうか確かめる必要があります。
先ほどの式に\(a=0\)、\(b=-1\)を代入すると以下のようになります。
- \(x^2-2=(x+1)(x-1)-1\)
そこで、以下のように右辺を計算しましょう。
\((x+1)(x-1)-1\)
\(=x^2-1-1\)
\(=x^2-2=\)左辺
右辺を計算すると左辺となったため、すべての値で成り立つ恒等式であると証明できました。数値代入法では、「恒等式であることの証明も必要である」と理解しましょう。
条件式がある場合の恒等式
それでは、特定の条件が定められている場合の恒等式はどのように答えを得ればいいのでしょうか。条件式がある場合、一つの値にそろえるようにしましょう。その後、ここまで解説した方法によって答えを得ればいいです。
例えば、以下の問題の答えは何でしょうか。
- \(x+y-z=0\)と\(2x-2y+z=-1\)を満たす全ての値について、\(ax^2+by^2+cz^2=1\)が成り立つ場合、定数\(a\)、\(b\)、\(c\)を求めましょう。
条件は存在するものの、条件を満たす場合に恒等式となるように定数を計算しましょう。そこで、前述の通り一つの値にそろえる必要があります。どの値を利用してもいいですが、\(x\)にそろえるようにしましょう。そこで、以下のように考えます。
- \(x+y-z=0\) – ①
- \(2x-2y+z=-1\) – ②
2つの式を利用して計算しましょう。
・\(①+②\)より
\(3x-y=-1\)
\(y=3x+1\)
・\(①×2+②\)より
\(4x-z=-1\)
\(z=4x+1\)
そこで、\(y=3x+1\)と\(z=4x+1\)を\(ax^2+by^2+cz^2=1\)へ代入し、\(x\)の次数でまとめましょう。
\(ax^2+by^2+cz^2=1\)
\(ax^2+b(3x+1)^2+c(4x+1)^2=1\)
\(ax^2+b(9x^2+6x+1)\)\(+c(16x^2+8x+1)=1\)
\((a+9b+16c)x^2+(6b+8c)x\)\(+(b+c-1)=0\)
この式が常に成り立つためには、以下の条件を満たす必要があります。
- \(a+9b+16c=0\)
- \(6b+8c=0\)
- \(b+c-1=0\)
そこで、以下のように計算しましょう。
\(b+c-1=0\)
\(b=1-c\)
\(b=1-c\)を\(6b+8c=0\)へ代入する。
\(6(1-c)+8c=0\)
\(6-6c+8c=0\)
\(6+2c=0\)
\(c=-3\)
\(c=-3\)であるため、\(b=4\)です。また、\(a+9b+16c=0\)を利用して\(a\)を求めましょう。
\(a+36-48=0\)
\(a=12\)
こうして\(a=12\)、\(b=4\)、\(c=-3\)とわかりました。
どの条件でも成り立つ式が恒等式
式にどの値を代入しても成り立つ式が恒等式です。公式はすべて恒等式であり、どのような場合であっても左辺と右辺の値が同じになります。
方程式と恒等式は違います。ただ恒等式の定義を理解すれば、恒等式に関する問題を解くのは難しくありません。恒等式であることを証明したり、恒等式を満たす値を見つけたりする方法はやり方が決まっています。
恒等式では係数比較法または数値代入法を利用して答えを得ましょう。なお数値代入法を利用する場合、ほかの値でも成り立つことを証明しなければいけないことは理解しましょう。
恒等式を利用することにより、どのような値を代入しても成り立つ式を作ることができます。恒等式が何を意味しているのかを学び、恒等式であることを証明できるようになりましょう。
